Question

3．在直角坐標系xOy 中，已知圓C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+cosϕ}\\{y=sinϕ}\end{array}}\right.$（φ為參數(shù)）．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．
（1）求圓的極坐標方程；
（2）直線l的極坐方程是$2ρsin（θ+\frac{π}{3}）=3\sqrt{3}$，射線OM：θ=$\frac{π}{3}$與圓的交點為O，P，與直線l的交點為Q，求線段PQ的長．

Answer 1

分析 （1）圓C的參數(shù)方程消去參數(shù)能求出圓的極坐標方程，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化簡能求出此圓的極坐標方程．
（II）求出直線l：y+$\sqrt{3}$x=3$\sqrt{3}$，射線OM：y=$\sqrt{3}$x．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y+\sqrt{3}x=3\sqrt{3}}\\{y=\sqrt{3}x}\end{array}\right.$，得Q（$\frac{3}{2}，\frac{3\sqrt{3}}{2}$），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{（x-1）^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得P（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），由此能求出線段PQ的長．

解答 解：（1）圓C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+cosϕ}\\{y=sinϕ}\end{array}}\right.$（φ為參數(shù)）．
消去參數(shù)可得：（x-1）²+y²=1．
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化簡得此圓的極坐標方程為：ρ=2cosθ．
（II）如圖所示，直線l的極坐方程是$2ρsin（θ+\frac{π}{3}）=3\sqrt{3}$，
射線OM：θ=$\frac{π}{3}$．
可得普通方程：直線l：y+$\sqrt{3}$x=3$\sqrt{3}$，射線OM：y=$\sqrt{3}$x．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y+\sqrt{3}x=3\sqrt{3}}\\{y=\sqrt{3}x}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{3}{2}$，y=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，即Q（$\frac{3}{2}，\frac{3\sqrt{3}}{2}$）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{（x-1）^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$．
∴P（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
∴|PQ|=$\sqrt{（\frac{3}{2}-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=2．
∴線段PQ的長為2．

點評 本題考查圓的極坐標方程的求法，考查線段長的求法，考查極坐標方程、參數(shù)方程、直角坐標方程的互化、點到直線的距離公式、三角函數(shù)性質等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．