Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（0，$\sqrt{2}$），離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)P（1，1）分別作斜率為k₁、k₂的橢圓的動弦AB、CD，設(shè)M、N分別為線段AB、CD的中點(diǎn)，若k₁+k₂=1，是否存在一個定點(diǎn)Q，使得其在直線MN上，若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓過點(diǎn)（0，$\sqrt{2}$），離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（2）由題意得k₁≠k₂，設(shè)M（x_M，y_M），直線AB的方程為y=k₁x+k₂，代入橢圓方程，得：（2+3${{k}_{1}}^{2}$）x²+6k₁k₂x+3${{k}_{2}}^{2}$-6=0，求出M點(diǎn)坐標(biāo)，同理求出N點(diǎn)坐標(biāo)，由此求出直線MN的方程為y=$\frac{10-6{k}_{1}{k}_{2}}{-9{k}_{1}{k}_{2}}$x-$\frac{2}{3}$，直線過定點(diǎn)（0，-$\frac{2}{3}$），當(dāng)k₁k₂=0時，直線MN即為y軸，此時也過點(diǎn)（0，-$\frac{2}{3}$）．從而得到直線MN恒過定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-$\frac{2}{3}$）．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（0，$\sqrt{2}$），離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）由題意得k₁≠k₂，設(shè)M（x_M，y_M），直線AB的方程為y-1=k₁（x-1），即y=k₁x+k₂，
代入橢圓方程并化簡，得：（2+3${{k}_{1}}^{2}$）x²+6k₁k₂x+3${{k}_{2}}^{2}$-6=0，
∴${x}_{M}=\frac{-3{k}_{1}{k}_{2}}{2+3{{k}_{1}}^{2}}$，${y}_{M}=\frac{2{k}_{2}}{2+3{{k}_{1}}^{2}}$，
同理，${x}_{N}=\frac{-3{k}_{1}{k}_{2}}{2+3{{k}_{1}}^{2}}$，${y}_{N}=\frac{2{k}_{1}}{2+3{{k}_{2}}^{2}}$，
直線MN的方程為y-$\frac{2{k}_{2}}{2+3{{k}_{1}}^{2}}$=$\frac{10-6{k}_{1}{k}_{2}}{-9{k}_{1}{k}_{2}}$（x-$\frac{-3{k}_{1}{k}_{2}}{2+3{{k}_{1}}^{2}}$），
即y=$\frac{10-6{k}_{1}{k}_{2}}{-9{k}_{1}{k}_{2}}$x-$\frac{2}{3}$，
此時直線過定點(diǎn)（0，-$\frac{2}{3}$），
當(dāng)k₁k₂=0時，直線MN即為y軸，此時也過點(diǎn)（0，-$\frac{2}{3}$）．
綜上，直線MN恒過定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-$\frac{2}{3}$）．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線是否過定點(diǎn)的判斷與求法，考查橢圓、直線方程等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方思想，是中檔題．