Question

19．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=n²，n∈N⁺．
（1）證明：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列的前n項(xiàng)和求出通項(xiàng)，然后利用定義證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）把（1）中的通項(xiàng)公式代入b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，可得數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求出首項(xiàng)和公比，則其前n項(xiàng)和可求．

解答 （1）證明：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}={n}^{2}-（n-1）^{2}=2n-1$，
當(dāng)n=1時(shí)上式成立，
∴a_n=2n-1，
此時(shí)a_n+1-a_n=2（n+1）-1-2n+1=2．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）解：a_n=2n-1，b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$=2^2n-1，
∴數(shù)列{b_n}是以b₁=2為首項(xiàng)，公比q=4的等比數(shù)列．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和${T}_{n}=\frac{2（1-{4}^{n}）}{1-4}=\frac{2}{3}•{4}^{n}-\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．