Question

8．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若$20a•\overrightarrow{BC}+15b•\overrightarrow{CA}+12c•\overrightarrow{AB}=\vec 0$，則△ABC的最小角等于$arccos\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 $20a•\overrightarrow{BC}+15b•\overrightarrow{CA}+12c•\overrightarrow{AB}=\vec 0$，化為（20a-15b）$\overrightarrow{AC}$+（12c-20a）$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，根據(jù)$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AB}$不共線，可得20a-15b=12c-20a=0，再利用余弦定理即可得出．

解答 解：∵$20a•\overrightarrow{BC}+15b•\overrightarrow{CA}+12c•\overrightarrow{AB}=\vec 0$，
∴20a$（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$+15b$\overrightarrow{CA}$+12c$\overrightarrow{AB}$=0，
化為（20a-15b）$\overrightarrow{AC}$+（12c-20a）$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，
∵$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AB}$不共線，
∴20a-15b=12c-20a=0，
化為b=$\frac{4}{3}$a，c=$\frac{5}{3}$a．
∴邊a最小，因此角A最小，
由余弦定理可得：cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\frac{16}{9}{a}^{2}+\frac{25}{9}{a}^{2}-{a}^{2}}{2×\frac{4}{3}a×\frac{5}{3}a}$=$\frac{4}{5}$．
∴A=arccos$\frac{4}{5}$．
故答案為：arccos$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了向量三角形法則、向量共線共面定理、余弦定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．