Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，S_n=2a_n+1，則S_n=（　�。�

• A、S_n=

  1

  2

  （

  3

  2

  ）ⁿ-1
• B、S_n=

  1

  2

  （

  3

  2

  ）ⁿ+1
• C、S_n=

  1

  2

  [（

  3

  2

  ）ⁿ-1]
• D、S_n=（

  3

  2

  ）^n-1

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)題設(shè)條件可知n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n，兩式想減整理得a_n+1=

3

2

a_n，求得n≥2時(shí)的通項(xiàng)公式，最后綜合可得答案．

解答： 解：當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n，
∴2a_n+1-2a_n=S_n-S_n-1=a_n，
即a_n+1=

3

2

a_n，
∴數(shù)列{a_n}為從第二項(xiàng)起的等比數(shù)列，a₂=

1

2

，公比為

3

2

，
∴a_n=

1

2

×（

3

2

^）n-2（n≥2）
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，不符合，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=1+

1

2

+

3

4

+…+

1

2

×（

3

2

^）n-2=（

3

2

）^n-1．
當(dāng)n=1時(shí)，也符合
∴S_n=（

3

2

）^n-1．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的遞推式求數(shù)列通項(xiàng)公式與求和．解題的最后一定要驗(yàn)證a₁．是中檔題．