Question

13．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，a₁+a₂=12，a₃+a₄=108，
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記b_n=na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知得$\begin{array}{l}{a_1}+{a_1}q=12\\{a_1}{q^2}+{a_1}{q^3}=108\end{array}$，從而求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）化簡(jiǎn)${b_n}=n{a_n}=n•{3^n}$，從而結(jié)合通項(xiàng)公式可知利用錯(cuò)位相減法求其前n項(xiàng)和．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公比為q（q＞0），
由已知得$\begin{array}{l}{a_1}+{a_1}q=12\\{a_1}{q^2}+{a_1}{q^3}=108\end{array}$，
則解得a₁=3，q=3，
所以數(shù)列{a_n}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
故${a_n}=3•{3^{n-1}}={3^n}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得${b_n}=n{a_n}=n•{3^n}$，
∴S_n=1•3¹+2•3²+…+n•3ⁿ，（1）
$3{S_n}=1•{3^2}+2•{3^3}+3•{3^4}+…+（{n-1}）•{3^n}+n•{3^{n+1}}…（2）$，
由（1）-（2）得，
$-2{S_n}={3^1}+•{3^2}+{3^3}+…+{3^n}-n•{3^{n+1}}=\frac{{3（{1-{3^n}}）}}{1-3}-n•{3^{n+1}}$，
∴S_n=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{4}$+$\frac{n}{2}$•3ⁿ⁺¹=（$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{4}$）3ⁿ⁺¹+$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及錯(cuò)位相減法的應(yīng)用．