Question

1．空間四邊形ABCD的各棱長和對角線均為a，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，則異面直線AE，CF所成角的余弦值為$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 可考慮用空間向量求異面直線AE與CF所成角的余弦值，可設(shè)正四面體的棱長為1，cos＜$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{CF}$＞=$\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}$=-$\frac{2}{3}$，這樣便可得到異面直線AE與CF所成角的余弦值．

解答 解：$\overrightarrow{CF}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CD}$），$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CA}$．
設(shè)正四面體的棱長為1，則|$\overrightarrow{AE}$|=|$\overrightarrow{CF}$|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{CD}$-$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{CA}}^{2}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CA}$$•\overrightarrow{CD}$=-$\frac{1}{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{CF}$＞=$\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}$=-$\frac{2}{3}$，
∴異面直線AE與CF所成角的余弦值為$\frac{2}{3}$．
故答案為：$\frac{2}{3}$

點評 考查用空間向量求異面直線所成角余弦值的方法，等邊三角形的中線也是高線，直角三角形的邊角關(guān)系，以及向量加法的平行四邊形法則，向量減法的幾何意義，向量數(shù)量積的運算及計算公式，向量夾角的余弦公式，弄清異面直線所成角和異面直線的方向向量夾角的關(guān)系．