Question

16．設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，則點(diǎn)A₁到平面B₁AC的距離是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)A₁到平面B₁AC的距離．

解答 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A₁（2，0，2），B₁（2，2，2），A（2，0，0），C（0，2，0），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，2，2），$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，2），
設(shè)平面B₁AC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=2y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-2x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，-1），
∴點(diǎn)A₁到平面B₁AC的距離：
d=$\frac{|\overrightarrow{A{A}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴點(diǎn)A₁到平面B₁AC的距離是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．