如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)點(diǎn)(),直線(xiàn):,點(diǎn)在直線(xiàn)上移動(dòng),是線(xiàn)段與軸的交點(diǎn), 過(guò)、分別作直線(xiàn)、,使, .
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)在直線(xiàn)上任取一點(diǎn)做曲線(xiàn)的兩條切線(xiàn),設(shè)切點(diǎn)為、,求證:直線(xiàn)恒過(guò)一定點(diǎn);
(3)對(duì)(2)求證:當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí),直線(xiàn)的斜率的倒數(shù)成等差數(shù)列.
(1).(2)利用導(dǎo)數(shù)法求出直線(xiàn)AB的方程,然后再利用直線(xiàn)橫過(guò)定點(diǎn)知識(shí)解決.(3)用坐標(biāo)表示出斜率,然后再利用等差中項(xiàng)的知識(shí)證明即可
解析試題分析:(1)依題意知,點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn),且⊥,
∴是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn).∴.
故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn),其方程為:.
(2)設(shè),兩切點(diǎn)為,
由得,求導(dǎo)得.
∴兩條切線(xiàn)方程為 ①
②
對(duì)于方程①,代入點(diǎn)得,,又
∴整理得:
同理對(duì)方程②有
即為方程的兩根.
∴ ③
設(shè)直線(xiàn)的斜率為,
所以直線(xiàn)的方程為,展開(kāi)得:
,代入③得:
∴直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).
(3) 證明:由(2)的結(jié)論,設(shè), ,
且有,
∴
∴
=
又∵,所以
即直線(xiàn)的斜率倒數(shù)成等差數(shù)列.
考點(diǎn):本題考查了拋物線(xiàn)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列的綜合考查
點(diǎn)評(píng):解答拋物線(xiàn)綜合題時(shí),應(yīng)根據(jù)其幾何特征熟練的轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系(如方程、函數(shù)),再結(jié)合代數(shù)方法解答,這就要學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)要充分利用數(shù)形結(jié)合、設(shè)而不求、弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理綜合思考,重視對(duì)稱(chēng)思想、函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知兩點(diǎn)F1(-1,0)及F2(1,0),點(diǎn)P在以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓C上,且|PF1|、|F1F2|、|PF2|構(gòu)成等差數(shù)列.
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,動(dòng)直線(xiàn)l:y=kx+m與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),點(diǎn)M,N是直線(xiàn)l上的兩點(diǎn),且F1M⊥l, F2N⊥l.求四邊形F1MNF2面積S的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,一水渠的橫斷面是拋物線(xiàn)形,O是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn),口寬EF=4米,高3米建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,求拋物線(xiàn)方程.現(xiàn)將水渠橫斷面改造成等腰梯形ABCD,要求高度不變,只挖土,不填土,求梯形ABCD的下底AB多大時(shí),所挖的土最少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知,直線(xiàn),為平面上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn),垂足為點(diǎn),且.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡曲線(xiàn)的方程;
(2)設(shè)動(dòng)直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切于點(diǎn),且與直線(xiàn)相交于點(diǎn),試探究:在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一個(gè)定點(diǎn),使得以為直徑的圓恒過(guò)此定點(diǎn)?若存在,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓E:()離心率為,上頂點(diǎn)M,右頂點(diǎn)N,直線(xiàn)MN與圓相切,斜率為k的直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)橢圓E在正半軸的焦點(diǎn)F,且交E于A、B不同兩點(diǎn).
(1)求E的方程;
(2)若點(diǎn)G(m,0)且| GA|=| GB|,,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn),直線(xiàn)方程為,直線(xiàn)與軸交于點(diǎn),、分別為橢圓的左右頂點(diǎn),已知,且.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn),求三角形面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,已知圓C與y軸相切于點(diǎn)T(0,2),與x軸正半軸相交于兩點(diǎn)M,N (點(diǎn)M在點(diǎn)N的右側(cè)),且。橢圓D:的焦距等于,且過(guò)點(diǎn)
( I ) 求圓C和橢圓D的方程;
(Ⅱ) 若過(guò)點(diǎn)M的動(dòng)直線(xiàn)與橢圓D交于A、B兩點(diǎn),若點(diǎn)N在以弦AB為直徑的圓的外部,求直線(xiàn)斜率的范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,已知橢圓的左焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交橢圓于A、B兩點(diǎn),線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為G,AB的中垂線(xiàn)與x軸和y軸分別交于D、E兩點(diǎn).
(Ⅰ)若點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為,求直線(xiàn)AB的斜率;
(Ⅱ)記△GFD的面積為S1,△OED(O為原點(diǎn))的面積為S2.
試問(wèn):是否存在直線(xiàn)AB,使得S1=S2?說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)。若分別過(guò)橢圓的左右焦點(diǎn)、的動(dòng)直線(xiàn)、相交于P點(diǎn),與橢圓分別交于A、B與C、D不同四點(diǎn),直線(xiàn)OA、OB、OC、OD的斜率、、、滿(mǎn)足.
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在定點(diǎn)M、N,使得為定值.若存在,求出M、N點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
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