Question

16．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知cosC+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosB=0．
（Ⅰ）求角B的大��；
（Ⅱ）若△ABC的面積S=5$\sqrt{3}$，a=5，試求sinAsinC的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用兩角和差的三角公式sinA（sinB-$\sqrt{3}$cosB）=0，即sinB-$\sqrt{3}$cosB=0，即tanB=$\sqrt{3}$，從而求得∠B的值．
（Ⅱ）由三角形面積公式可求c，利用余弦定理可求b，由正弦定理解得sinA，sinC的值，即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵cosC+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosB=-cos（A+B）+cosAcosB-$\sqrt{3}$sinAcosB=0，
整理得：sinAsinB-cosAcosB+cosAcosB-$\sqrt{3}$sinAcosB=0，即sinA（sinB-$\sqrt{3}$cosB）=0，
∵∠A為三角形內(nèi)角，∴sinB-$\sqrt{3}$cosB=0，即tanB=$\sqrt{3}$，
∴∠B=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵a=5，S=5$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×5×c，解得：c=4．
∴由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=25+16-20=21，解得：b=$\sqrt{21}$，
∴由正弦定理$\frac{5}{sinA}=\frac{\sqrt{21}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4}{sinC}$，可得：sinAsinC=$\frac{5×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{21}}×$$\frac{4×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{21}}$=$\frac{15}{21}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦定理、余弦定理、兩角和差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．