Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=∠ABC=90°，AD∥BC，PA=AB=BC=2AD，E是PC的中點．
（Ⅰ）求證：DE⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角A-PD-E的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）以點A為坐標原點，建立坐標系，證明

DE

•

PB

=0，

DE

•

PC

=0，即可證明DE⊥平面PBC；
（Ⅱ）求出平面PAD的一個法向量、平面PCD的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角A-PD-E的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=∠ABC=90°，AD∥BC，
∴PA⊥AB，PA⊥AD⊥AD⊥AB，
以點A為坐標原點，建立如圖所示的坐標系，設PA=AB=BC=2AD=2，則P（0，0，2），D（1，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），E（1，1，1），
∴

DE

=（0，1，1），

PB

=（0，2，-2），

PC

=（2，2，-2），
∴

DE

•

PB

=0，

DE

•

PC

=0，
∴DE⊥PB，DE⊥PC，
∵PB∩PC=P，
∴DE⊥平面PBC；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知平面PAD的一個法向量

m

=（0，2，0）．
設平面PCD的一個法向量為

n

=（x，y，z），則
∵

PD

=（1，0，-2），

PC

=（2，2，-2），
∴

x-2z=0 2x+2y-2z=0

，
∴取

n

=（2，-1，1），
∴cos＜

m

，

n

＞=

-2

6 •2

=-

6

6

．

點評：本題考查了直線與平面垂直的判定，考查了利用空間向量求解二面角的大小，綜合考查了學生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．