Question

已知f（x）=e^x-t（x+1）．
（1）若f（x）≥0對一切正實數(shù)x恒成立，求t的取值范圍；
（2）設g（x）=f（x）+

t

ex

，且A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）是曲線y=g（x）上任意兩點，若對任意的t≤-1，直線AB的斜率恒大于常數(shù)m，求m的取值范圍；
（3）求證：1ⁿ+2ⁿ+…+（n-1）ⁿ≤nⁿ（n∈N^*）．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）f(x)≥0?t≤

ex

x+1

（x＞0）恒成立．設p(x)=

ex

x+1

（x≥0），則p′(x)=

xex

(x+1)2

≥0，從而求出p（x）在x∈[0，+∞]單調(diào)遞增，p（x）≥p（0）=1（x=1時取等號），進而t≤1；
（2）設x₁、x₂是任意的兩實數(shù)，且x₁＜x₂

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＞m，故g（x₂）-mx₂＞g（x₁）-mx₁設F（x）=g（x）-mx，則F（x）在R上單增，而g′(x)=ex-t-

t

ex

≥2

ex•( -t ex )

-t=-t+2

-t

=(

-t

+1)2≥3故m＜3；
（3）由（1）知，x+1≤e^x=e^（x+1）-1，∴x≤e^x-1取x=

k

n

(k=1，2，…，n-1)，則(

k

n

)n≤(e

k

n

-1)n=

ek

en

．從而1ⁿ+2ⁿ+…+（n-1）ⁿ≤nⁿ（n∈N*）．

解答： 解：（1）f(x)≥0?t≤

ex

x+1

（x＞0）恒成立．
設p(x)=

ex

x+1

（x≥0），則p′(x)=

xex

(x+1)2

≥0
∴p（x）在x∈[0，+∞]單調(diào)遞增，p（x）≥p（0）=1（x=1時取等號），
∴t≤1；
（2）設x₁、x₂是任意的兩實數(shù)，且x₁＜x₂

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＞m，
故g（x₂）-mx₂＞g（x₁）-mx₁
設F（x）=g（x）-mx，
則F（x）在R上單增，
即F'（x）=g'（x）-m＞0恒成立．
即對任意的t≤-1，x∈R，m＜g'（x）恒成立．
而g′（x）=e^x-t-

t

ex

≥2

ex•( -t ex )

-t=-t+2

-t

=(

-t

+1)2-1≥3，
故m＜3；
（3）由（1）知，x+1≤e^x，∴x≤e^x-1，
取x=

k

n

(k=1，2，…，n-1)，
則(

k

n

)n≤(e

k

n

-1)n=

ek

en

．

n-1

k=1

(

k

n

)n≤

n-1

k=1

ek

en

=

1

en

•

e(1-en-1)

1-e

=

e

e-1

(

1

e

-

1

en

)＜

1

e-1

＜1，

n-1

k=1

(

k

n

)n＜1，  ∴

n-1

k=1

kn＜nn，
∴1ⁿ+2ⁿ+…+（n-1）ⁿ≤nⁿ（n∈N*）

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，求參數(shù)的范圍，不等式的證明，導數(shù)的應用，有一定的難度．