Question

若函數(shù)f（x）滿足：集合A={f（n）|n∈N^*}中至少存在三個(gè)不同的數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，則稱函數(shù)f（x）是等比源函數(shù)．
（1）判斷下列函數(shù)：①y=x²；②y=lgx中，哪些是等比源函數(shù)？（不需證明）
（2）證明：函數(shù)g（x）=2x+3是等比源函數(shù)；
（3）判斷函數(shù)f（x）=2^x+1是否為等比源函數(shù)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）①利用等比數(shù)列的性質(zhì)和等比源函數(shù)的概率推導(dǎo)出y=x²，y=lgx都是等比源函數(shù)．
（2）由g（x）=2x+3，推導(dǎo)出g（1）=5，g（6）=15，g（21）=45，由5，15，45成等比數(shù)列，得到函數(shù)g（x）=2x+3是等比源函數(shù)．
（3）函數(shù)f（x）=2^x+1不是等比源函數(shù)．例用反證法能證明函數(shù)f（x）=2^x+1不是等比源函數(shù)．

解答： 解：（1）①∵1²，2²，4²，8²構(gòu)成等比數(shù)列，
∴y=x²是等比源函數(shù)．
②∵lg10，lg100，lg10000構(gòu)成等比數(shù)列，
∴y=lgx是等比源函數(shù)．（4分）
（2）證明：∵g（x）=2x+3，
∴g（1）=2+3=5，g（6）=12+3=15，g（21）=42+3=45，
∵5，15，45成等比數(shù)列
∴函數(shù)g（x）=2x+3是等比源函數(shù)．（10分）
（3）函數(shù)f（x）=2^x+1不是等比源函數(shù)．
證明如下：
假設(shè)存在正整數(shù)m，n，k且m＜n＜k，使得f（m），f（n），f（k）成等比數(shù)列，
則（2ⁿ+1）²=（2^m+1）（2^k+1），
整理得2²ⁿ+2ⁿ⁺¹=2^m+k+2^m+2^k，
等式兩邊同除以2^m，得2^2n-m+2^n-m+1=2^k+2^k-m+1．
∵n-m≥1，k-m≥2，∴等式左邊為偶數(shù)，等式右邊為奇數(shù)，
∴等式2^2n-m+2^n-m+1=2^k+2^k-m+1不可能成立，
∴假設(shè)不成立，
∴函數(shù)f（x）=2^x+1不是等比源函數(shù)．（18分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比源函數(shù)的判斷與證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意反證法的合理運(yùn)用．