Question

下列四個函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在定義域上單調(diào)遞增的是（　�。�

• A、f（x）=lnx
• B、f（x）=2x+sinx
• C、f（x）=x+

  1

  x

• D、f（x）=e^x+e^-x

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的定義，判斷各個選項中的函數(shù)是否既是奇函數(shù)又在定義域上單調(diào)遞增，從而得出結(jié)論．

解答：解：由于函數(shù)y=lnx的定義域為（0，+∞），不關(guān)于原點對稱，故函數(shù)沒有奇偶性，故排除A．
由于函數(shù)f（x）=2x+sinx 的定義域為R，且滿足f（-x）=2（-x）+sin（-x）=-2x-sinx=-f（x），故f（x）為奇函數(shù)．
再根據(jù)f′（x）=2+cosx＞0，可得函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，故滿足條件．
由于函數(shù)f（x）=x+

1

x

為奇函數(shù)，在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)，故不滿足條件，故排除C．
由于函數(shù)f（x）=e^x+e^-x 滿足f（-x）=e^-x+e^x=f（x），故函數(shù)是偶函數(shù)，故排除D．
故選：B．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判斷、證明，屬于中檔題．