Question

15．“開門大吉”是某電視臺推出的游戲益智節(jié)目．選手面對1-4號4扇大門，依次按響門上的門鈴，門鈴會播放一段音樂（將一首經(jīng)典流行歌曲以單音色旋律的方式演繹），選手需正確回答出這首歌的名字，方可獲得該扇門對應(yīng)的家庭夢想基金．正確回答每一扇門后，選手可自由選擇帶著獎金離開比賽，還可繼續(xù)挑戰(zhàn)后面的門以獲得更多獎金（獎金金額累加），但是一旦回答錯誤，獎金將清零，選手也會離開比賽．在一次場外調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)參加比賽的選手多數(shù)分為兩個年齡段：20～30；30～40（單位：歲），其猜對歌曲名稱與否人數(shù)如圖所示．
（1）寫出2×2列聯(lián)表；判斷是否有90%的把握認(rèn)為猜對歌曲名稱與否與年齡有關(guān)？說明你的理由．（下面的臨界值表供參考）

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（參考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）
（理）（2）若某選手能正確回答第一、二、三、四扇門的概率分別為$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$，正確回答一個問題后，選擇繼續(xù)回答下一個問題的概率是$\frac{1}{2}$，且各個問題回答正確與否互不影響．設(shè)該選手所獲夢想基金總數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

第一扇門	第二扇門	第三扇門	第四扇門
1000	2000	3000	5000

每扇門對應(yīng)的夢想基金：（單位：元）
（文）（2）現(xiàn)計劃在這次場外調(diào)查中按年齡段用分層抽樣的方法選取6名選手，并抽取3名幸運選手，求3名幸運選手中至少有一人在20～30歲之間的概率．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給的二維條形圖得到列聯(lián)表，利用公式求出k²=3＞2.706，即可得出結(jié)論．
（理）（2）由已知得ξ的所有可能取值為0，1000，3000，6000，11000，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（文）（2）按照分層抽樣方法可知：20～30歲抽取2人；30～40歲抽取4人，在上述抽取的6名選手中，年齡在20～30歲有2人，年齡在30～40歲有4人，利用列舉法求出基本事件數(shù)，即可求出至少有一人年齡在20～30歲之間的概率

解答 解：（1）根據(jù)所給的二維條形圖得到列聯(lián)表，

	正確	錯誤	合計
20～30（歲）	10	30	40
30～40（歲）	10	70	80
合計	20	100	120

根據(jù)列聯(lián)表所給的數(shù)據(jù)代入觀測值的公式得到k²=$\frac{120×（10×70-10×30）^{2}}{20×100×40×80}$=3
∵3＞2.706，
∴有1-0.10=90%的把握認(rèn)為猜對歌曲名稱與否與年齡有關(guān)．
（理）（2）由已知得ξ的所有可能取值為0，1000，3000，6000，11000，
P（ξ=1000）=$\frac{4}{5}×\frac{1}{2}$=$\frac{2}{5}$，
P（ξ=3000）=$\frac{4}{5}×\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{3}{20}$，
P（ξ=6000）=$\frac{4}{5}×\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{20}$，
P（ξ=11000）=$\frac{4}{5}×\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{60}$，
P（ξ=0）=1-$\frac{2}{5}-\frac{3}{20}-\frac{1}{20}-\frac{1}{60}$=$\frac{23}{60}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1000	3000	6000	11000
P	$\frac{23}{60}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{1}{20}$	$\frac{1}{60}$

數(shù)學(xué)期望Eξ=$0×\frac{23}{60}+1000×\frac{2}{5}+3000×\frac{3}{20}$+$6000×\frac{1}{20}+11000×\frac{1}{60}$≈1333．
（文）（2）按照分層抽樣方法可知：20～30（歲）抽�。�6×$\frac{40}{120}$=2（人）；30～40（歲）抽�。�6×$\frac{80}{120}$=4（人） …（7分）
在上述抽取的6名選手中，年齡在20～30（歲）有2人，年齡在30～40（歲）有4人．…（8分）
年齡在20～30（歲）記為（A，B）；年齡在30～40（歲）記為（a，b，c，d），
則從6名選手中任取3名的所有情況為：（A，B，a）、（A，B，b）、（A，B，c）、（A，B，d）、
（A，a，b）、（A，a，c）、（A，a，d）、（A，b，c）、（A，b，d）、（A，c，d）、（B，a，b）、
（B，a，c）、（B，a，d）、（B，b，c）、（B，b，d）、（B，c，d）、（a，b，c）、
（a，b，d）（a，c，d）（b，c，d）共20種情況，…（9分）
其中至少有一人年齡在20～30歲情況有：（A，B，a）、（A，B，b）、（A，B，c）、
（A，B，d）、（A，a，b）、（A，a，c）、（A，a，d）、（A，b，c）、（A，b，d）、
（A，c，d）、（B，a，b）、（B，a，c）、（B，a，d）、（B，b，c）、（B，b，d）、（B，c，d），共16種情況．…（10分）
記至少有一人年齡在20～30歲為事件A，
則P（A）=$\frac{16}{20}=\frac{4}{5}$，
∴至少有一人年齡在20～30歲之間的概率為$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查獨立性檢驗知識的運用，考查分層抽樣，考查概率、離散型分布列等知識，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定基本事件總數(shù)是關(guān)鍵．