Question

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，F(xiàn)₁F₂=

10

，P是y軸正半軸上一點(diǎn)，PF₁交橢圓于點(diǎn)A，若AF₁⊥PF₂，且△APF₂的內(nèi)切圓半徑為

2

2

，則橢圓的離心率是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意，直角三角形的內(nèi)切圓半徑r=

2

2

，結(jié)合|F₁F₂|=

10

，可得|AF₁|²+|AF₂|²=10，從而可求|AF₁|+|AF₂|=3

2

=2a，即可求得橢圓的離心率．

解答： 解：由題意，直角三角形的內(nèi)切圓半徑r=

|PA|+|AF2|-|PF2|

2

=

|PA|-|PF1|+|AF2|

2

=

|AF2|-|AF1|

2

=

2

2

，
∵|F₁F₂|=

10

，
∴|AF₁|²+|AF₂|²=10，
∴2|AF₁||AF₂|=8，
∴（|AF₁|+|AF₂|）²=18，
∴|AF₁|+|AF₂|=3

2

=2a，
∵|F₁F₂|=

10

，
∴橢圓的離心率是e=

c

a

=

10

3 2

=

5

3

．
故答案為：

5

3

．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．