Question

設(shè)函數(shù)f(x)＝x²－mlnx，g(x)＝x²－x＋a.

(1)  當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)≥g(x)在(1，＋∞),上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)  當(dāng)m＝2時(shí)，若函數(shù)h(x)=f(x)－g(x)在[1,3]上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：(1)由a＝0，f(x)≥g(x)可得－mln x≥－x

x∈(1,＋∞)，即m≤，記φ(x)＝，

則f(x)≥g(x)在(1，＋∞)上恒成立等價(jià)于m ≤φ(x)_min.

求得φ′(x)＝

當(dāng)x∈(1,e)時(shí), φ′(x)<0; 

當(dāng)x∈(e,＋∞)時(shí), φ′(x)>0.

故φ(x)在x＝e處取得極小值，也是最小值，即φ(x)min＝φ(e)＝e，故m≤e.

所以，實(shí)數(shù)m的取值范圍為;(- ¥,e]

(2)函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)在[1,3]上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)

等價(jià)于方程x－2ln x＝a,在[1,3]上恰有兩個(gè)相異實(shí)根．

令k(x)＝x－2ln x，則k′(x)＝1－.

當(dāng)x∈[1,2)時(shí)，k′(x)<0；

當(dāng)x∈(2,3]時(shí)，k′(x)>0，

∴k(x)在[1,2)上是單調(diào)遞減函數(shù)，在(2,3]上是單調(diào)遞增

函數(shù)．故k(x)min＝k(2)＝2－2ln 2，

又k(1)＝1，k(3)＝3－2ln 3，

∵k(1)>k(3)，∴只需k(2)<a≤k(3)，

故a的取值范圍是(2－2ln 2,3－2ln 3]．