Question

5．在△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)M為BC的中點(diǎn)，若∠BAC=$\frac{π}{3}$，b=2，AM=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，則△ABC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 由M為BC中點(diǎn)得$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$），兩邊平方求出|$\overrightarrow{AB}$|，即c的值，代入面積公式S=$\frac{1}{2}bcsinA$求出面積．

解答 解：$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AC}$|cos60°=|$\overrightarrow{AB}$|．
∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$），
∴${\overrightarrow{AM}}^{2}=\frac{1}{4}{\overrightarrow{AB}}^{2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\frac{1}{4}{\overrightarrow{AC}}^{2}$，
即$\frac{7}{4}$=$\frac{1}{4}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}$+$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|$+1，
解得$|\overrightarrow{AB}|$=1或|$\overrightarrow{AB}$|=-3（舍）．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB×AC×sin∠BAC=$\frac{1}{2}×1×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解三角形的應(yīng)用，三角形的面積計(jì)算，屬于中檔題．