Question

16．已知菱形ABCD中，AC=2，BD=4，E，F(xiàn)分別在AB，AD上，且關(guān)于直線AC對稱，則$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{CE}$的最大值為（　　）

• A． $\frac{25}{12}$
• B． 2
• C． $\frac{5}{2}$
• D． $\frac{5}{6}$

Answer 1

分析 由條件可知BD⊥AC，從而可分別以BD，CA為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，并可求出A，B，C三點的坐標(biāo)，根據(jù)條件可以設(shè)出E（2y-2，y），F(xiàn)（2-2y，y），且0≤y≤1，從而可求出向量$\overrightarrow{BF}，\overrightarrow{CE}$的坐標(biāo)，進(jìn)行向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算便可得到$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{CE}=-3{y}^{2}+13y-8$，配方即可求出$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{CE}$在y∈[0，1]上的最大值．

解答 解：根據(jù)題意AC⊥BD，∴分別以BD，CA為x，y軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則：
A（0，1），B（-2，0），C（0，-1）；
∵E，F(xiàn)分別在AB，AD上，且關(guān)于直線AC對稱；
∴設(shè)E（2y-2，y），F(xiàn)（2-2y，y），0≤y≤1；
∴$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{CE}=（4-2y，y）•（2y-2，y+1）$
=（4-2y）•（2y-2）+y（y+1）
=-3y²+13y-8
=$-3（y-\frac{13}{6}）^{2}+\frac{73}{12}$，0≤y≤1；
∴y=1時，$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{CE}$取最大值2．
故選B．

點評 考查菱形的對角線互相垂直且平分，能求平面上點的坐標(biāo)，根據(jù)點E，F(xiàn)滿足的條件可以設(shè)出點E，F(xiàn)的坐標(biāo)，根據(jù)點的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，配方求二次函數(shù)最值的方法．