Question

已知a b c∈R⁺，a+

2

b+

3

c=2

3

，記a²+b²+c²的最小值為m．
（Ⅰ）求實數rn；
（Ⅱ）若關于x的不等式|x-3|≥m和x²+px+q≥0的解集相同，求p的值．

Answer 1

考點：二維形式的柯西不等式,絕對值不等式的解法

專題：選作題,推理和證明

分析：（Ⅰ）由柯西不等式（a²+b²+c²）[1²+（

2

）²+（

3

）²]≥（a+

2

b+

3

c）²=12，故a²+b²+c²≥2；
（Ⅱ）求出不等式|x-3|≥m的解集，利用韋達定理，即可求出p的值．

解答： 解：（Ⅰ）由柯西不等式（a²+b²+c²）[1²+（

2

）²+（

3

）²]≥（a+

2

b+

3

c）²=12，
故a²+b²+c²≥2，
當且僅當

a

1

=

b

2

=

c

3

時取等號，
∴a²+b²+c²的最小值m為2；
（Ⅱ）不等式|x-3|≥m即不等式|x-3|≥2，解得x≥5或x≤1，
∴x²+px+q≥0的解集為{x|x≥5或x≤1}，
∴p=-（1+5）=-6．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，考查二維形式的柯西不等式，屬于中檔題．