Question

已知(

x

+

3	x

)n（其中n＜15）的展開(kāi)式中第9項(xiàng)，第10項(xiàng)，第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列．
（1）求n的值；
（2）寫(xiě)出它展開(kāi)式中的所有有理項(xiàng)．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,二項(xiàng)式定理

分析：（1）利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)求出各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，利用等差數(shù)列的定義列出方程解得；
（2）先求得展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，在通項(xiàng)公式中令x的冪指數(shù)為有理數(shù)，求得r的值，即可求得展開(kāi)式中有理項(xiàng)．

解答： 解：（1）(

x

+

3	x

)n（其中n＜15）的展開(kāi)式中第9項(xiàng)，第10項(xiàng)，第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別是

C

8 n

，

C

9 n

，

C

10 n

．依題意得

C

8 n

+

C

10 n

=

C

9 n

，寫(xiě)成：

n!

8!(n-8)!

+

n!

10!(n-10)!

=2•

n!

9!(n-9)!

化簡(jiǎn)得90+（n-9）（n-8）=2•10（n-8），
即：n²-37n+322=0，解得n=14或n=23，
因?yàn)閚＜15，所以n=14．
（2）展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr+1=

C

r 14

x

14-r

2

x

r

3

=

C

r 14

x

42-r

6

，
展開(kāi)式中的有理項(xiàng)當(dāng)且僅當(dāng)r是6的倍數(shù)，0≤r≤14，
所以展開(kāi)式中的有理項(xiàng)共3項(xiàng)是：r=0，T1=

C

0 14

x7=x7；r=6，T7=

C

6 14

x6=164x6；r=12，T13=

C

12 14

x5=91x5

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解決展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題、等差數(shù)列的定義．二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題的工具．屬于中檔題．