Question

如果函數(shù)f（x）的定義域為R，對任意實數(shù)a，b滿足f（a+b）=f（a）•f（b）．
（1）設(shè)f（1）=k（k≠0），試求f（10）； 
（2）設(shè)當(dāng)x＜0時，f（x）＞1，試解不等式f（x+5）＞

1

f(x)

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用賦值法，求出f（2）=f²（1），f（3）=f³（1），…，f（n）=fⁿ（1），即可得到f（10）；
（2）運(yùn)用賦值，求出對任意x∈R，必有f（x）＞0．再求f（0），設(shè)x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，f（x₁-x₂）＞1．由條件推出函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性，解出不等式，即可．

解答： 解：（1）∵任意實數(shù)a，b滿足f（a+b）=f（a）•f（b），
∴f（2）=f²（1），f（3）=f³（1），…，f（n）=fⁿ（1），
∴f（10）=f（1）[f（1）]⁹=k¹⁰．
（2）對任意的x∈R，f(x)=f(

x

2

+

x

2

)=f2(

x

2

)≥0．
假設(shè)存在x₀∈R，使f（x₀）=0，
則取x＜0，有f（x）=f（x-x₀+x₀）=f（x-x₀）•f（x₀）=0，
這與已知矛盾，則f（x₀）≠0．于是對任意x∈R，必有f（x）＞0．
∵f（0）=f（0+0）=f²（0）≠0，∴f（0）=1．
設(shè)x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，f（x₁-x₂）＞1．
又∵f（x₂）＞0，∴f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）f（x₂）＞f（x₂），
∴f（x）為減函數(shù)．
不等式等價于f（x+5）f（x）＞1，
∴f（2x+5）＞f（0），
∴2x+5＜0，即x＜-

5

2

．
∴原不等式的解集為（-∞，-

5

2

）．

點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)及運(yùn)用，考查賦值法解決抽象函數(shù)值，考查函數(shù)的單調(diào)性及運(yùn)用，主要是解不等式，屬于中檔題．