Question

函數(shù)f（x），g（x）（g（x）≠0）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），f（-3）=0，則不等式

f(x)

g(x)

＜0的解集為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令F（x）=

f(x)

g(x)

．根據(jù)當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），可得F′（x）＜0，因此函數(shù)F（x）在x＜0時(shí)單調(diào)遞減，由于f（-3）=0，可得F（-3）=0．即可得出x＜0不等式

f(x)

g(x)

＜0的解集．再判定F（x）的奇偶性即可得出．

解答： 解：①令F（x）=

f(x)

g(x)

．
∵當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），
∴F′(x)=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

＜0，
∴函數(shù)F（x）在x＜0時(shí)單調(diào)遞減；
∵f（-3）=0，∴F（-3）=0．
∴F（x）＜0的解集為（-3，0）．
②∵f（x），g（x）（g（x）≠0）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，
∴F（-x）=

f(-x)

g(-x)

=-

f(x)

g(x)

=-F（x），
∴F（x）是R上的奇函數(shù)，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)（x）＜0的解集為（3，+∞）．
綜上可得：不等式

f(x)

g(x)

＜0的解集為（-3，0）∪（3，+∞）．
故答案為：（-3，0）∪（3，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)的奇偶性、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．