Question

6．過曲線y=x³上一點(diǎn)P（1，1）作該曲線的切線，求該切線的方程．

Answer 1

分析 ①若（1，1）為切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，再用點(diǎn)斜式寫出切線方程；
②若不是切點(diǎn)，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出切線的斜率，由點(diǎn)斜式寫出切線方程，把原點(diǎn)代入切線方程中化簡(jiǎn)可求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，把橫坐標(biāo)代入即可求出切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，且得到切線的斜率，即可求出切線方程．

解答 解：y=x³的導(dǎo)數(shù)y′=3x²，
①若（1，1）為切點(diǎn)，k=3•1²=3，
∴切線l：y-1=3（x-1）即3x-y-2=0；
②若（1，1）不是切點(diǎn)，
設(shè)切點(diǎn)P（m，m³），k=3m²=$\frac{{m}^{3}-1}{m-1}$，
即2m²-m-1=0，則m=1（舍）或-$\frac{1}{2}$
∴切線l：y-1=$\frac{3}{4}$（x-1）即3x-4y+1=0．
故切線方程為：3x-y-2=0或3x-4y+1=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，注意在某點(diǎn)處和過某點(diǎn)的切線，考查運(yùn)算求解能力．屬于中檔題和易錯(cuò)題．