Question

17．甲設(shè)計(jì)了一個(gè)摸獎(jiǎng)游戲，在一個(gè)口袋中裝有同樣大小的10個(gè)球，分別標(biāo)有數(shù)字0，1，2，…9這十個(gè)數(shù)字，摸獎(jiǎng)?wù)呓?元錢(qián)可參加一回摸球活動(dòng)，一回摸球活動(dòng)的規(guī)則是：摸獎(jiǎng)?wù)咴诿�球前先隨機(jī)確定（預(yù)報(bào)）3個(gè)數(shù)字，然后開(kāi)始在袋中不放回地摸3次球，每次摸一個(gè)，摸得3個(gè)球的數(shù)字與預(yù)先所報(bào)數(shù)字均不相同的獎(jiǎng)1元，有1個(gè)數(shù)字相同的獎(jiǎng)2元，2個(gè)數(shù)字相同的獎(jiǎng)10元，3個(gè)數(shù)字相同的獎(jiǎng)50元，設(shè)ξ為摸獎(jiǎng)?wù)咭换厮�得�?jiǎng)金數(shù)，求ξ的分布列和摸獎(jiǎng)人獲利的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 由已知得ξ可能取的值為1，2，10，50，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出Eξ，又設(shè)η為摸獎(jiǎng)?wù)攉@利的可能值，則η=ξ-5，由此能求出摸獎(jiǎng)人獲利的數(shù)學(xué)期望．

解答 解：ξ為摸獎(jiǎng)人摸一回所得獎(jiǎng)金數(shù)，ξ可能取的值為1，2，10，50．其中：P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{0}{C}_{7}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{35}{120}$，
 P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{7}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{63}{120}$，
P（ξ=10）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{7}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{21}{120}$，
P（ξ=50）=$\frac{{C}_{3}^{3}{C}_{7}^{0}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{120}$，
ξ的分布列：

ξ	1	2	10	50
P	$\frac{35}{120}$	$\frac{63}{120}$	$\frac{21}{120}$	$\frac{1}{120}$

∴Eξ=$1×\frac{35}{120}+2×\frac{63}{120}+10×\frac{21}{120}+50×\frac{1}{120}$=$\frac{421}{120}$，
又設(shè)η為摸獎(jiǎng)?wù)攉@利的可能值，則η=ξ-5，
所以摸獎(jiǎng)人獲利的數(shù)學(xué)期望為Eη=E（ξ-5）=Eξ-5=$\frac{421}{120}-5$=-$\frac{179}{120}$≈-1.49．
答：摸獎(jiǎng)人獲利的期望-1.49．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量ξ的分布列和摸獎(jiǎng)人獲利的數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．