Question

定義在R上的函數(shù)f（x），給出下列四個命題：
（1）若f（x）是偶函數(shù)，則f（x+3）的圖象關(guān)于直線x=3對稱
（2）若f（x+3）=-f（3-x），則f（x）的圖象關(guān)于點（3，0）對稱
（3）若f（x+3）=f（3-x），且f（x+4）=f（4-x），則f（x）的一個周期為2．
（4）y=f（x+3）與y=f（3-x）的圖象關(guān)于直線x=3對稱
其中正確命題的序號為

 

．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：閱讀型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）若f（x）是偶函數(shù)，則f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，f（x+3）的圖象可由f（x）圖象向左平移3個單位得到，
即可判斷；
（2）由f（x+a）+f（a-x）=2b，則f（x）的圖象關(guān)于點（a，b）對稱，即可判斷；
（3）由函數(shù)的對稱性得f（x+6）=f（-x），且f（x+8）=f（-x），即有f（x+2）=f（x），即可判斷；
（4）令x+3=t，則x=t-3，則y=f（t）和y=f（6-t）的圖象關(guān)于t=3對稱，即可判斷．

解答： 解：（1）若f（x）是偶函數(shù)，則f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，
f（x+3）的圖象可由f（x）圖象向左平移3個單位得到，
故圖象關(guān)于直線x=-3對稱，故（1）錯；
（2）若f（x+3）=-f（3-x），即f（3+x）+f（3-x）=0，
則f（x）的圖象關(guān)于點（3，0）對稱，故（2）對；
（3）若f（x+3）=f（3-x），且f（x+4）=f（4-x），
則f（x+6）=f（-x），且f（x+8）=f（-x），即有f（x+6）=f（x+8）即有f（x+2）=f（x），
則f（x）的一個周期為2，故（3）對；
（4）令x+3=t，則x=t-3，則y=f（t）和y=f（6-t）的圖象關(guān)于t=3對稱，
則y=f（x+3）與y=f（3-x）的圖象關(guān)于直線x=0對稱，故（4）錯．
故答案為：（2）（3）．

點評：本題考查抽象函數(shù)及運用，考查函數(shù)的對稱性和周期性及應(yīng)用，屬于中檔題．