Question

已知f（1+sinx）=2+sinx+cos²x，則函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=

 

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Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：設(shè)1+sinx=t，可得sinx=t-1，由sinx的值域得到t的范圍，再由同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系sin²x+cos²x=1，用t表示出cos²x，將1+sinx及cos²x換為關(guān)于t的關(guān)系式，得到f（t）的解析式，再把t化為x即可得到f（x）的解析式，且由t的范圍可得出此時x的范圍．

解答： 解：設(shè)1+sinx=t，可得sinx=t-1，
∵-1≤sinx≤1，
∴0≤1+sinx≤2，即0≤t≤2，
又sin²x+cos²x=1，
∴cos²x=1-sin²x=1-（t-1）²，
∴f（1-sinx）=2+sinx+cos²x可化為f（t）=2+t-1+1-（t-1）²=-t²+3t+1，
則f（x）的解析式為：-x²+3x+1 （0≤x≤2）
故答案為：-x²+3x+1 （0≤x≤2）

點評：此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，正弦函數(shù)的值域，以及函數(shù)解析式的求解及常用方法，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．