Question

16．設函數f（x）=sin²ωx-cos²ωx+2$\sqrt{3}$sinωxcosωx+λ的圖象關于直線x=π對稱，其中ω，λ為常數，且ω∈（$\frac{1}{2}$，1）．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若y=f（x）的圖象經過點（$\frac{π}{4}$，0），求函數f（x）在區(qū)間[0，$\frac{3π}{5}$]上的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先利用二倍角公式和兩角差的余弦公式將函數f（x）化為y=Asin（ωx+φ）+k型函數，再利用函數的對稱性和ω的范圍，計算ω的值，最后利用周期計算公式得函數的最小正周期；
（Ⅱ）先將已知點的坐標代入函數解析式，求得λ的值，再利用正弦函數的圖象和性質即可求得函數f（x）的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=sin²ωx+2$\sqrt{3}$sinωx•cosωx-cos²ωx+λ
=$\sqrt{3}$sin2ωx-cos2ωx+λ
=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+λ，
∵圖象關于直線x=π對稱，∴2πω-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈z．
∴ω=$\frac{k}{2}$+$\frac{1}{3}$，又ω∈（$\frac{1}{2}$，1），
令k=1時，ω=$\frac{5}{6}$符合要求，
∴函數f（x）的最小正周期為 $\frac{2π}{2×\frac{5}{6}}$=$\frac{6π}{5}$；
（Ⅱ）∵f（$\frac{π}{4}$）=0，
∴2sin（2×$\frac{5}{6}$×$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{6}$）+λ=0，
∴λ=-$\sqrt{2}$，
∴f（x）=2sin（$\frac{5}{3}$x-$\frac{π}{6}$）-$\sqrt{2}$，
∴f（x）∈[-1-$\sqrt{2}$，2-$\sqrt{2}$]．

點評 本題主要考查了y=Asin（ωx+φ）+k型函數的圖象和性質，復合函數值域的求法，正弦函數的圖象和性質，是一道中檔題．