Question

1，4，9，16…這些數(shù)可以用圖1的點陣表示，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派將其稱為正方形數(shù)，記第n個數(shù)為a_n+1，在圖2的楊輝三角中，第n（n≥2）行是（a+b）^n-1展開式的二項式系數(shù)

C

0 n-1

，

C

1 n-1

，…，

C

n-1 n-1

記楊輝三角的前n行所有數(shù)之和為T_n．
（Ⅰ）求a_n和T_n的通項公式；
（Ⅱ）當(dāng)n≥2時，比較a_n與T_n的大小，并加以證明．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,歸納推理

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由正方形數(shù)的特點知an=n2，由二項式定理的性質(zhì)，求出楊輝三角形第n行n個數(shù)的和，由此能求出a_n和T_n的通項公式．
（Ⅱ）2≤n≤4時，a_n＞T_n．n≥5時，a_n＜T_n．證明：2≤n≤4時，a_n＞T_n時，可以逐個驗證；證明n≥5時，a_n＜T_n時，可以用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答： 解：（Ⅰ）由正方形數(shù)的特點知an=n2，
由二項式定理的性質(zhì)，楊輝三角形第n行n個數(shù)的和為：
Sn

=C

0 n-1

+C

1 n-1

+

C

n-1 n-1

=2^n-1，
∴T_n=S₁+S₂+…+S_n
=1+2+2²+…+2^n-1
=2ⁿ-1．
（Ⅱ）a2=4，T2=22-1=3，∴a₂＞T₂．
a3=9，T3=23-1=7，∴a₃＞T₃．
a4=16，T4=24-1=15，∴a₄＞T₄．
a5=25，T5=25-1=31，∴a₅＜T₅．
∴2≤n≤4時，a_n＞T_n．
猜想2≤n≤4時，a_n＞T_n．n≥5時，a_n＜T_n．
證明：2≤n≤4時，a_n＞T_n，已證明．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明n≥5時，a_n＜T_n．
①當(dāng)n=5時，a5=25，T5=25-1=31，∴a₅＜T₅．成立．
②假設(shè)n=k（k≥5，k∈N^*）時，猜想成立，即ak＜2k，∴k²＜2^k-1．
則Tk+1=2k+1-1=2•2k-1
=2（2^k-1）+1
＞2k²+1=k²+k²+1
＞k²+2k+1=（k+1）²，
∴n=k+1時，猜想也成立．
由①②知n≥5時，a_n＜T_n．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意二項式定理和數(shù)學(xué)歸納法的合理運用．