Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，

m

=（sinA，sinB-sinC），

n

=（a-

3

b，b+c），且

m

⊥

n

．
（1）求角C的值；
（2）若△ABC為銳角三角形，且c=1，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)，及兩向量垂直時(shí)滿足的關(guān)系列出關(guān)系式，利用余弦定理表示出cosC，將得出關(guān)系式代入求出cosC的值，即可確定出C的度數(shù)；
（2）由C的度數(shù)表示出A+B的度數(shù)，用A表示出B，根據(jù)三角形ABC為銳角三角形求出A的范圍，進(jìn)而確定出sinA的范圍，利用正弦定理表示出a，根據(jù)sinA的范圍求出a的范圍即可．

解答： 解：（1）∵

m

=（sinA，sinB-sinC），

n

=（a-

3

b，b+c），且

m

⊥

n

，
∴sinA（a-

3

b）+（sinB-sinC）（b+c）=0，
利用正弦定理化簡得：a（a-

3

b）+（b+c）（b-c）=0，即a²+b²-c²=

3

ab，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

3

2

，
∵C∈（0，π），
∴C=

π

6

；
（2）由（1）得A+B=

5π

6

，即B=

5π

6

-A，
∵△ABC為銳角三角形，
∴

0＜ 5π 6 -A＜ π 2 0＜A＜ π 2

，
解得：

π

3

＜A＜

π

2

，
∴

3

2

＜sinA＜1，
∵c=1，sinC=

3

2

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

1

1 2

=2得：a=2sinA，
則a的范圍為（

3

，2）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．