Question

函數(shù)f（a）=（3m-1）a+b-2m，當m∈[0，1]時，0≤f（a）≤1恒成立，則

b2-a2

ab

的最大值是（　　）

• A、

  15

  4

• B、4
• C、

  19

  4

• D、5

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：綜合題,不等式的解法及應用

分析：先根據(jù)恒成立寫出有關a，b的約束條件，再在aob系中畫出可行域，由斜率模型可得1≤

b

a

≤4．又

b2-a2

ab

=

b

a

-

a

b

，令

b

a

=t，則1≤t≤4，利用y=t-

1

t

在[1，4]上單調(diào)遞增，即可得出結(jié)論．

解答： 解：令g（m）=（3a-2）m+b-a．
由題意當m∈[0，1]時，0≤f（a）≤1可得

0≤g(0)≤1 0≤g(1)≤1

，
∴0≤b-a≤1，0≤2a+b-2≤1．  
即 a≤b≤1+a ①，2≤2a+b≤3  ②．
把（a，b）看作點畫出可行域，由斜率模型可得1≤

b

a

≤4．
又

b2-a2

ab

=

b

a

-

a

b

，令

b

a

=t，則1≤t≤4，
∵y=t-

1

t

在[1，4]上單調(diào)遞增，
∴t=4時，即a=

1

3

，b=

4

3

時，y有最大值是

15

4

．
故選：A．

點評：本題主要考查了恒成立問題、用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．目標函數(shù)有唯一最優(yōu)解是我們最常見的問題，這類問題一般要分三步：畫出可行域、求出關鍵點、定出最優(yōu)解．