Question

【題目】有如下命題：①函數(shù)與的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)；②函數(shù)與的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn)；③函數(shù)與的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)；④函數(shù)與的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，其中真命題為_____

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

①構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性，進(jìn)行判斷即可；

②利用與x的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化判斷；

③設(shè)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在原理得出零點(diǎn)個(gè)數(shù)，判斷其真假.

④設(shè)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在原理得出零點(diǎn)個(gè)數(shù)，判斷其真假.

①設(shè)，則，即函數(shù)為減函數(shù)，

∵，

∴函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)與的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn)，故①錯(cuò)誤，

②由①知當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，綜上當(dāng)時(shí)，恒成立，

函數(shù)與的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn)，故②正確，

③設(shè)函數(shù)，則，

又，所以在上單調(diào)遞減.

又，

所以存在，使得

即當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.

由函數(shù)在上單調(diào)遞增且，

所以函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

由，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則

又，且函數(shù)在上單調(diào)遞減.

所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

即在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

所以有2個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)與的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，故③正確.

④設(shè)函數(shù),為奇函數(shù)，且.

所以只需研究在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.

則,則，

所以，所以在上單調(diào)遞減.

所以當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減.

又，.

所以存在，使得.

即當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.

，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，則

又，且函數(shù)在上單調(diào)遞減.

所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

即在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

由為奇函數(shù)，所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且.

所以有3個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)與的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，故④正確.

故答案為：②③④.