若x，y是正實數(shù)，則
x+y
2x+y
+
x
x+2y
的最小值是
 
．
考點：基本不等式
專題：計算題,導數(shù)的綜合應用
分析：根據(jù)題意，設
x
y
=t（t＞0），把
x+y
2x+y
+
x
x+2y
化為函數(shù)f（t）=
t+1
2t+1
+
t
t+2
（t＞0），利用導數(shù)求出f（t）的最小值即可．
解答： 解：根據(jù)題意，設
x
y
=t（t＞0），
∴
x+y
2x+y
+
x
x+2y
=
x
y
+1
2•
x
y
+1
+
x
y
x
y
+2
；
∴函數(shù)f（t）=
t+1
2t+1
+
t
t+2
（t＞0），
∴f′（t）=
(2t+1)-2(t+1)
(2t+1)2
+
(t+2)-t
(t+2)2

=
2
(t+2)2
-
1
(2t+1)2
；
令f′（x）=0，
解得t=
2-
2
2
2
-1
，
∴當t=
2-
2
2
2
-1
時，
t+1
2t+1
=
2-
2
2
2
-1
+1
2(2-
2
)
2
2
-1
+1
=
1+
2
3
，
t
t+2
=
2-
2
2
2
-1
2-
2
2
2
-1
+2
=
2
-1
3
；
此時f（t）取得最小值，
∴f（t）min=
1+
2
3
+
2
-1
3
=
2
2
3
；
即
x+y
2x+y
+
x
x+2y
的最小值是
2
2
3
．
故答案為：
2
2
3
．
點評：本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值問題，解題時應根據(jù)題意，構造函數(shù)，利用函數(shù)的導數(shù)求出函數(shù)的最值，是有些難度的計算題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖．P為△ABC所在平面外一點，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，若PA=
5
PB=
10
PC=2
2
，且點E，F(xiàn)分別在線段PB，PA上滿足：PE：EB=1：2，PF：FA=2：3
（Ⅰ）求證：△ABC為銳角三角形； 
（Ⅱ）求多面體ECAB的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
x2(x＞1)
x2-4x+4(x≤1)
，若f（2m+1）＞f（m2-2），則實數(shù)m的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（4-x）=f（x），且當x∈（-1，3]時，f（x）=
x2，x∈(-1，1]
1+cos
1
2
πx，x∈(1，3]
，則g（x）=f（x）-|lgx|的零點數(shù)為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某同學在電腦上打下了一串黑白圓，如圖所示，○●●○○○●●○○○○○●●…，按這種規(guī)律往下排，那么第36個圓的顏色應是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

4個人玩一副撲克牌（去掉大、小王，共52張），則某個人手中正好抓到6張黑桃的概率是
 
；（只寫式子，不計算結果）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=x2-2x+1的定義域是[-2，0]，則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)h（x）=x2+px+q在（n，n+1）（n∈Z）有兩個不同零點，令A=max{h（n），h（n+1）}，B=min{h（n），h（n+1）}，（其中max表示兩個數(shù)中較大的，而min表示兩個數(shù)中較小的），則（　�。�
A、B＜
1
4
，A＞1
B、B＞
1
4
，A＜1
C、B＜
1
4
，A＞
1
2
D、B＞
1
4
，A＜
1
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）x∈（a，b）的導函數(shù)為f′（x），原命題為“若f′（x）＜0，則f（x）在（a，b）上單調(diào)遞減”，關于其逆命題、否命題、逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是（　�。�
A、真，真，真
B、假，假，假
C、真，真，假
D、假，假，真

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