Question

17．△ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，asinAsinB+bcos²A=2a，則角A的取值范圍是（0，$\frac{π}{6}$]．

Answer 1

分析 利用正弦定理化簡已知的等式，整理后利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡，得到sinB=2sinA，再利用正弦定理化簡得：b=2a，由余弦定理表示出cosA，整理后利用基本不等式求出cosA的范圍，再由A為三角形的內(nèi)角，且根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，即可得到A的范圍．

解答 解：在△ABC中，由正弦定理化簡已知的等式得：sin²AsinB+sinBcos²A=2sinA，
即sinB（sin²A+cos²A）=2sinA，
∴sinB=2sinA，
由正弦定理得：b=2a，
由余弦定理得：cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{4{a}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{4ac}$=$\frac{3{a}^{2}+{c}^{2}}{4ac}$≥$\frac{2\sqrt{3}ac}{4ac}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A為三角形ABC的內(nèi)角，且y=cosx在（0，π）上是減函數(shù)，
∴0＜A≤$\frac{π}{6}$，
則A的取值范圍是：（0，$\frac{π}{6}$]．
故答案為：（0，$\frac{π}{6}$]．

點(diǎn)評 此題考查了正弦、余弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，基本不等式，以及余弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．