Question

9．設(shè)動(dòng)直線l垂直于x軸，且與橢圓x²+2y²=4交于A，B兩點(diǎn)，P是l上滿足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-1的點(diǎn)．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)C（-2，0），若過(guò)點(diǎn)C的直線與動(dòng)點(diǎn)P的軌跡恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求該直線的斜率．

Answer 1

分析 （1）確定A，B的坐標(biāo)，表示出向量，利用$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-1，化簡(jiǎn)可得點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)出直線的方程，代入橢圓方程，消去y，再由直線和橢圓相切的條件：判別式為0，解方程即可得到所求直線的斜率．

解答 解：（1）設(shè)P（m，n），
∵動(dòng)直線l：x=m垂直于x軸，且與橢圓x²+2y²=4交于A，B兩點(diǎn)，
∴由方程x²+2y²=4，
可得A，B的縱坐標(biāo)為y=±$\sqrt{\frac{4-{m}^{2}}{2}}$，
∴A（m，$\sqrt{\frac{4-{m}^{2}}{2}}$），B（m，-$\sqrt{\frac{4-{m}^{2}}{2}}$）（-2＜m＜2）．
∵$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-1，
∴（0，$\sqrt{\frac{4-{m}^{2}}{2}}$-n）•（0，-$\sqrt{\frac{4-{m}^{2}}{2}}$-n）=-1，
∴$\frac{{m}^{2}}{2}$+n²=1，
即有點(diǎn)P的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）設(shè)過(guò)C（-2，0）的直線方程為y=k（x+2），
代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，可得
（1+2k²）x²+8k²x+8k²-2=0，
由過(guò)點(diǎn)C的直線與動(dòng)點(diǎn)P的軌跡恰有一個(gè)公共點(diǎn)，
可得判別式△=64k⁴-4（1+2k²）（8k²-2）=0，
解得k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
可得所求直線的斜率為±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，考查向量知識(shí)的運(yùn)用和直線的斜率的運(yùn)用，考查直線和橢圓相切的條件，屬于中檔題．