Question

15．已知點(diǎn)P（-1，2）．圓C：（x-1）²+（y+2）²=4．
（1）求過(guò)點(diǎn)P的圓C的切線方程；（用直線方程的一般式作答）
（2）設(shè)圓C上有兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)且點(diǎn)P到直線l的距離最長(zhǎng)，求直線l的方程（用直線方程的一般式作答）

Answer 1

分析 （1）設(shè)過(guò)P（-1，2）的切線為y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求過(guò)點(diǎn)P的圓C的切線方程，并求此切線的長(zhǎng)度；
（2）確定l經(jīng)過(guò)圓C的圓心C（1，-2），使P到l的距離最長(zhǎng)，則l⊥PC，直線PC的斜率k_PC=-2，可得l斜率，即可得出直線l的方程．

解答 解：（1）當(dāng)斜率不存在時(shí)，x=1，滿足題意；…（2分）
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)P（-1，2）是切線為y-2=k（x+1）⇒kx-y+k+2=0
⇒$\frac{|2k+4|}{\sqrt{k2+1}}$=2⇒k²+4k+4=k²+1⇒k=-$\frac{3}{4}$
兩條切線l₁：x=-1；l₂：3x+4y-5=0 …（6分）
（2）圓C上有兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)⇒l經(jīng)過(guò)圓C的圓心C（1，-2）…（8分）
使P到l的距離最長(zhǎng)，則l⊥PC，直線PC的斜率k_PC=-2⇒l斜率為$\frac{1}{2}$…..（10分）
⇒直線l：y+2=$\frac{1}{2}$（x+1）⇒l方程：x-2y-3=0…．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．