Question

1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，平面區(qū)域W中的點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）滿足$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤2}\\{0≤y≤2}\end{array}\right.$從區(qū)域W中隨機(jī)取點(diǎn)M（x，y）．
（1）若x∈Z，y∈Z，求點(diǎn)M位于第一象限的概率．
（2）若x∈R，y∈R，求|OM|≤2的概率．

Answer 1

分析 （1）列舉法求出基本事件的個(gè)數(shù)．二者做除法即可算出概率；
（2）這是一個(gè)幾何概率模型．算出圖中以（0，0）圓心2為半徑的圓的陰影面積，再除以平面區(qū)域矩形ABCD面積，即可求出概率．

解答 解：（1）若x，y∈Z，則點(diǎn)M的個(gè)數(shù)共有12個(gè)，列舉如下：
（-1，0），（-1，1），（-1，2），（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2）．
當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）時(shí)，點(diǎn)M位于第一象限，故點(diǎn)M位于第一象限的概率為$\frac{1}{3}$．
（2）這是一個(gè)幾何概率模型．
如圖，若x，y∈R，則區(qū)域W的面積是3×2=6．
滿足|OM|≤2的點(diǎn)M構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧（x，y）|-1≤x≤2，0≤y≤2，x²+y²≤4}，即圖中的陰影部分，易知E（-1，$\sqrt{3}$），∠EOA=60°，
所以扇形BOE的面積是$\frac{4π}{3}$，△EAO的面積是$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故|OM|≤2的概率為$\frac{\frac{4π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}}{6}$=$\frac{2}{9}π+\frac{\sqrt{3}}{12}$．

點(diǎn)評 本題考查幾何概率問題和簡單線性規(guī)劃問題．概率模型包括古典概型與幾何概型，區(qū)分的方法在于基本事件的有限與無限．