Question

12．在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，則使點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都不小于1的概率是$1-\frac{{\sqrt{3}π}}{6}$．

Answer 1

分析 先求出滿足條件的正三角形ABC的面積，再求出滿足條件正三角形ABC內(nèi)的點(diǎn)到三角形的頂點(diǎn)A、B、C的距離均不小于1的圖形的面積，然后代入幾何概型公式即可得到答案．

解答 解：滿足條件的正三角形ABC如下圖所示：
其中正三角形ABC的面積S_三角形=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4=$\sqrt{3}$．
滿足到正三角形ABC的頂點(diǎn)A、B、C的距離至少有一個(gè)小于1的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，其加起來(lái)是一個(gè)半徑為1的半圓，
則S_陰影=$\frac{1}{2}$π，
則使取到的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離都大于1的概率是：
P=$1-\frac{{\sqrt{3}π}}{6}$．
故答案為：$1-\frac{{\sqrt{3}π}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何概型概率公式、三角形的面積公式、扇形的面積公式．幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長(zhǎng)度、面積、體積等，而且這個(gè)“幾何度量”只與“大小”有關(guān)，而與形狀和位置無(wú)關(guān)．