Question

20．在數列{a_n}中，a₁=$\frac{5}{3}$，且3a_n+1=a_n+2．
（1）設b_n=a_n-1，證明：數列{b_n}是等比數列，并求出{a_n}的通項公項；
（2）設${c_n}=log_3^{\frac{{{{（{a_n}-1）}^2}}}{4}}$，數列$\left\{{\frac{1}{{{c_n}{c_{n+2}}}}}\right\}$的前n項和為T_n，是否存在最小的正整數m，使得對于任意的n∈N^*，均有T_n＜$\frac{m}{16}$成立，若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得3（a_n+1-1）=（a_n-1），從而可得b₁=$\frac{2}{3}$，$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{1}{3}$，從而證明；從而求得a_n=$\frac{2}{3}$•$（\frac{1}{3}）^{n-1}$+1；
（2）化簡${c_n}=log_3^{\frac{{{{（{a_n}-1）}^2}}}{4}}$=log₃$\frac{（\frac{2}{3}•（\frac{1}{3}）^{n-1}）^{2}}{4}$=log₃3^-2n=-2n，從而可得$\frac{1}{{c}_{n}{c}_{n+2}}$=$\frac{1}{8}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），從而利用裂項求和法求解．

解答 解：（1）∵3a_n+1=a_n+2，∴3（a_n+1-1）=（a_n-1），
又∵b₁=a₁-1=$\frac{5}{3}$-1=$\frac{2}{3}$，∴$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{3}$，
故數列{b_n}是以$\frac{2}{3}$為首項，$\frac{1}{3}$為公比的等比數列；
∴b_n=a_n-1=$\frac{2}{3}$•$（\frac{1}{3}）^{n-1}$，
∴a_n=$\frac{2}{3}$•$（\frac{1}{3}）^{n-1}$+1；
（2）${c_n}=log_3^{\frac{{{{（{a_n}-1）}^2}}}{4}}$=log₃$\frac{（\frac{2}{3}•（\frac{1}{3}）^{n-1}）^{2}}{4}$=log₃3^-2n=-2n，
∴$\frac{1}{{c}_{n}{c}_{n+2}}$=$\frac{1}{（-2n）（-2（n+2））}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{8}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴T_n=$\frac{1}{8}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$）+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）]
=$\frac{1}{8}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{3}{16}$-$\frac{1}{8}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$）＜$\frac{3}{16}$，
故m≥3，
故m=3．

點評 本題考查了等比數列的證明及裂項求和法的應用．