Question

10．已知A，B，C是不共線的三點(diǎn)，O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)．若$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，求證：O是△ABC的重心．

Answer 1

分析 利用向量的運(yùn)算法則：平行四邊形法則得到A，O，D共線且O為三角形中線的三等分點(diǎn)，據(jù)三角形重心的性質(zhì)判斷出O為重心．

解答 證明：以$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$為鄰邊作平行四邊形OBDC，

則$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$．
又$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=-$\overrightarrow{OA}$．
∴-$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{OD}$．
∴O為AD的中點(diǎn)，且A、O、D共線．
又E為OD的中點(diǎn)，
∴O是中線AE的三等分點(diǎn)，且OA=$\frac{2}{3}$AE．
∴O是△ABC的重心．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的運(yùn)算法則：平行四邊形法則、考查三角形的重心的性質(zhì)：分三角形的中線為2：1的關(guān)系．