10．已知A，B，C是不共線的三點，O是△ABC內(nèi)的一點．若$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，求證：O是△ABC的重心．

分析 利用向量的運算法則：平行四邊形法則得到A，O，D共線且O為三角形中線的三等分點，據(jù)三角形重心的性質(zhì)判斷出O為重心．

解答 證明：以$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$為鄰邊作平行四邊形OBDC，

則$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$．
又$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=-$\overrightarrow{OA}$．
∴-$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{OD}$．
∴O為AD的中點，且A、O、D共線．
又E為OD的中點，
∴O是中線AE的三等分點，且OA=$\frac{2}{3}$AE．
∴O是△ABC的重心．

點評 本題考查向量的運算法則：平行四邊形法則、考查三角形的重心的性質(zhì)：分三角形的中線為2：1的關(guān)系．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

20．已知△ABC內(nèi)接于單位圓，則長為sinA、sinB、sinC的三條線段（　�。�
A．能構(gòu)成一個三角形，其面積大于△ABC面積的$\frac{1}{4}$
B．能構(gòu)成一個三角形，其面積等于△ABC面積的$\frac{1}{4}$
C．能構(gòu)成一個三角形，其面積小于△ABC面積的$\frac{1}{4}$
D．不一定能構(gòu)成三角形

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1．當(dāng)x∈（2，+∞）時，函數(shù)y=lg（ax-1）有意義．求實數(shù)a的取值范圍．

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18．若sin（$\frac{π}{2}$+θ）＜0，且cos（$\frac{π}{2}-θ$）＞0，則θ是（　　）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角

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5．已知角α=kπ-$\frac{2π}{3}$，k∈Z，則角α的終邊在第一或三象限．

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15．若執(zhí)行如圖的程序框圖，則輸出的n的值是（　�。�
A．9B．10C．11D．12

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3．如圖，四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB與△PAD都是邊長為2的等邊三角形．
（ I）證明：CD⊥平面PBD
（Ⅱ）求點A到平面PCD的距離．

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20．在數(shù)列{an}中，a1=$\frac{5}{3}$，且3an+1=an+2．
（1）設(shè)bn=an-1，證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求出{an}的通項公項；
（2）設(shè)${c_n}=log_3^{\frac{{{{（{a_n}-1）}^2}}}{4}}$，數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{c_n}{c_{n+2}}}}}\right\}$的前n項和為Tn，是否存在最小的正整數(shù)m，使得對于任意的n∈N*，均有Tn＜$\frac{m}{16}$成立，若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

1．甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，他們在培訓(xùn)期間8次模擬考試的成績?nèi)缦拢?br />甲：82 81 79 78 95 88 93 84
乙：92 95 80 75 83 80 90 85
（1）畫出甲、乙兩位學(xué)生成績的莖葉圖，指出學(xué)生甲成績的中位數(shù)和學(xué)生乙成績的眾數(shù)；
（2）求學(xué)生乙成績的平均數(shù)和方差；
（3）從甲同學(xué)超過80分的6個成績中任取兩個，求這兩個成績中至少有一個超過90分的概率．

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同步練習(xí)冊答案