Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=x|x|+bx+c，給出下列四個命題：
①當(dāng)x＞0時，f（x）是增函數(shù)；
②f（x）的圖象關(guān)于（0，c）對稱；
③當(dāng)b≠0時，方程f（x）=0必有三個實(shí)數(shù)根；
④當(dāng)b=0時，方程f（x）=0有且只有一個實(shí)根．
其中正確的命題是②④（填序號）

Answer 1

分析 ①當(dāng)x＞0時f（x）=x²+bx+c的圖象是開口向上的拋物線，故不正確；
②通過f（x）=x|x|+bx+c的圖象由y=x|x|+bx向上或向下平移|c|個單位及當(dāng)c=0時f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，可知正確；
③令b=1、c=0即可否定結(jié)論；
④當(dāng)b=0時方程即為x|x|+c=0，分c＜0、c≥0兩種情況討論即可．

解答 解：f（x）=x|x|+bx+c=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+bx+c，}&{x≤0}\\{{x}^{2}+bx+c，}&{x＞0}\end{array}\right.$，
①當(dāng)x＞0時，f（x）=x²+bx+c的圖象是開口向上的拋物線，當(dāng)-$\frac{2}$≤0時f（x）才是增函數(shù)，故不正確；
②由f（x）的解析式可知c=0時，f（x）=-f（-x），其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∵f（x）=x|x|+bx+c的圖象由y=x|x|+bx向上或向下平移|c|個單位，
∴f（x）的圖象關(guān)于（0，c）對稱，故正確；
③當(dāng)b≠0時，令b=1、c=0，則方程f（x）=0，
即x|x|+x=0，解得：x=0，故不正確；
④當(dāng)b=0時，方程f（x）=0，
即x|x|+c=0，
（i）若c＜0，
當(dāng)x≤0時，即x²=c，此時無解；
當(dāng)x＞0時，即x²=-c，此時x=-$\sqrt{-c}$；
（ii）若c≥0，
當(dāng)x≤0時，即x²=c，此時x=-$\sqrt{c}$；
當(dāng)x＞0時，即x²=-c，此時無解；
綜上所述，當(dāng)b=0時，方程f（x）=0有且只有一個實(shí)根，正確；
故答案為：②④．

點(diǎn)評 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查分析問題、解決問題的能力，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．