Question

13．已知函數(shù)f（x）=|x²-1|
（1）解不等式f（x）≤2+2x；
（2）設(shè)a＞0，若關(guān)于x的不等式f（x）+5≤ax解集非空，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，解不等式即可；（2）通過討論x的范圍，去掉絕對(duì)值號(hào)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍即可．

解答 解：（1）∵f（x）≤2+2x，
∴|x²-1|≤2+2x，
x≥1或x≤-1時(shí)，x²-1≤2+2x，解得：1≤x≤3，x=-1，
-1＜x＜1時(shí)，1-x²≤2+2x，成立，
綜上，-1≤x≤3；
（2）①x≥1或x≤-1時(shí)，
f（x）+5≤ax，
即x²-1+5≤ax，
即x²-ax+4≤0，
令h（x）=x²-ax+4，
若不等式f（x）+5≤ax解集非空，
則△=a²-16≥0，
解得：a≥4或a≤-4，
②-1≤x≤1時(shí)，
f（x）+5≤ax，
即1-x²+5≤ax，
即x²+ax-6≥0在[-1，1]有解，
令g（x）=x²+ax-6，
若不等式f（x）+5≤ax解集非空，
則f（1）≥0即可，解得：a≥5，
綜上，a≥4或a≤-4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問題，考查分類討論思想以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．