Question

8．曲線$y=-\frac{{{{（x-4）}^2}}}{4}$上任意一點為A，點B（2，0）為線段AC的中點．
（Ⅰ）求動點C的軌跡f（x）的方程；
（Ⅱ）過軌跡E的焦點F作直線交軌跡E于M、N兩點，在圓x²+y²=1上是否存在一點P，使得PM、PN分別為軌跡E的切線？若存在，求出軌跡E與直線PM、PN所圍成的圖形的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設出C，A的坐標，利用中點坐標公式把A的坐標用C的坐標表示，然后代入曲線方程求得動點C的軌跡方程；
（Ⅱ）假設存在點P（x₀，y₀），使得PM、PN分別為軌跡E的切線，設出M，N的坐標及直線MN的方程，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，得到M，N的橫坐標的和與積，然后分別寫出過M，N的切線方程，知x₁，x₂是方程${x_{\;}}^2-2{x_0}x+4{y_0}=0$的兩根，進一步求得P的坐標，則可求得軌跡E與直線PM、PN所圍成的圖形的面積．

解答 解：（Ⅰ）設C（x，y），A（m，n），則$\left\{\begin{array}{l}2=\frac{x+m}{2}\\ 0=\frac{y+n}{2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}m=4-x\\ n=-y\end{array}\right.$，
又$n=-\frac{{{{（m-4）}^2}}}{4}$，
∴所求方程為x²=4y；
（Ⅱ）假設存在點P（x₀，y₀），使得PM、PN分別為軌跡E的切線，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線MN的方程為y=kx+1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}=4y\end{array}\right.$，
得x²-4kx-4=0，
則$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=4k\\{x_1}{x_2}=-4\end{array}\right.$，
切線PM的方程為$y-\frac{x_1^2}{4}=\frac{x_1}{2}（x-{x_1}）$，
點P（x₀，y₀）代入化簡得${x_1}^2-2{x_1}{x_0}+4{y_0}=0$．
同理得${x_2}^2-2{x_2}{x_0}+4{y_0}=0$，
知x₁，x₂是方程${x_{\;}}^2-2{x_0}x+4{y_0}=0$的兩根，
則x₁x₂=4y₀=-4．
∴y₀=-1，代入圓方程得x₀=0，
∴存在點P（0，-1）．
此時軌跡E與直線PM、PN所圍成的圖形的面積：
S=$\frac{1}{2}×2×1+{2∫}_{0}^{2}\frac{1}{4}{x}^{2}dx$=1$+2×\frac{1}{12}{x}^{3}{|}_{0}^{2}=1+\frac{4}{3}=\frac{7}{3}$．

點評 本題考查曲線方程的求法，訓練了交軌法求曲線方程，考查直線與圓錐曲線位置關系的應用，是中檔題．