Question

10．命題p：函數(shù)f（x）=lg（ax²+2x+1）的定義域?yàn)镽；命題q：函數(shù)g（x）=$\frac{x+a}{x-2}$在（2，+∞）上是增函數(shù)，如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值．

Answer 1

分析 由函數(shù)恒成立和單調(diào)性分別可得pq為真時(shí)a的范圍，由命題真假可得pq一真一假，分類討論由集合的運(yùn)算可得．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=lg（ax²+2x+1）的定義域?yàn)镽，
∴x取任意實(shí)數(shù)ax²+2x+1恒大于0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4-4a＜0}\end{array}\right.$，解得a＞1，
故命題p為真時(shí)，a＞1；
∵函數(shù)g（x）=$\frac{x+a}{x-2}$=$\frac{x-2+a+2}{x-2}$=1+$\frac{a+2}{x-2}$在（2，+∞）上是增函數(shù)，
∴a+2＜0，解得a＜-2，故命題q為真時(shí)，a＜-2；
∵p∨q為真命題，p∧q為假命題，∴pq一真一假，
當(dāng)p真q假時(shí)，由{a|a＞1}∩{a|a≥-2}={a|a＞1}；
當(dāng)p假q真時(shí)，由{a|a≤1}∩{a|a＜-2}={a|a＜-2}；
綜上可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為a＜-2或a＞1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查符合命題的真假，涉及函數(shù)恒成立和單調(diào)性以及集合的運(yùn)算，屬中檔題．