已知A、B、C三點的坐標分別為A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），α∈（
π
2
，
3π
2
）
（1）若|
AC
|=|
BC
|，求角α的值；
（2）若
AC
•
BC
=-1，求
2sin2α+sin2α
1-tanα
的值．
考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,平面向量數(shù)量積的運算
專題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應用
分析：（1）利用向量的運算性質、同角三角函數(shù)基本關系式即可得出；
（2）利用數(shù)量積運算、同角三角函數(shù)基本關系式即可得出．
解答： 解：
AC
=(cosα-3， sinα)，
BC
=(cosα，  sinα-3)．
（1）∵|
AC
|=|
BC
|，
∴
(cosα-3)2+sin2α
=
cos2α+(sinα-3)2
．
化簡得：sinα=cosα，∴cosα=1．
又α∈(
π
2
，
3π
2
)，
故α=
5π
4
．
（2）∵
AC
•
BC
=-1，
∴（cosα-3）cosα+sinα（sinα-3）=-1，
化簡得：sinα+cosα=
2
3
，
兩邊平方得：2sinαcosα=-
5
9
＜0，
∴α∈(
π
2
，π)，
故sinα-cosα＞0，
而(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=
14
9
，
∴sinα-cosα=
14
3
，
2sin2α+sin2α
1-tanα
=
2sinα(sinα+cosα)
1-
sinα
cosα
=
2sinαcosα(sinα+cosα)
cosα-sinα
=
-
5
9
×
2
3
-
14
3
=
5
14
63
點評：本題考查了向量的運算性質、數(shù)量積運算、同角三角函數(shù)基本關系式，考查了計算能力和推理能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=
a
2
x2-1+cosx（a＞0）．
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）在[-
π
2
，
π
2
]上的最大值和最小值；
（2）若f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，求正數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=ax3+bx2+cx的導函數(shù)y=f′（x）的簡圖，它與x軸的交點是（0，0）和（1，0），又f′（
1
2
）=
3
2
．
（1）求f（x）的解析式及f（x）的極大值．
（2）若在區(qū)間[0，m]（m＞0）上恒有f（x）≤x成立，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x（x-c）2（x∈R，c是實常數(shù)）在x=2處取極大值．
（1）求c的值；
（2）在曲線y=f（x）上是否存在點M，使經過點M的切線與曲線y=f（x）有且僅有一個公共點？若存在，求點M的坐標；若不存在，簡要說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù) f（x）=ex+ax2+bx．
（1）若a=0且f（x）在x=-1處取得極值，求實數(shù)b的值；
（2）設曲線y=f（x）在點P（m，f（m））（0＜m＜1）處的切線為l，直線l與y軸相交于點Q．若點Q的縱坐標恒小于l，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（文科）如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，PA=
2
，AB=1．
（1）求證：AB⊥平面PAD
（2）求異面直線AB與PC所成角的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=
lnx
x
．
（Ⅰ）若F（x）=
a
x
-f（x）（a∈R），求F（x）的極小值；
（Ⅱ）若G（x）=f（x）+mx在定義域內單調遞增，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）求證：a2+b2+c2≥ab+bc+ac；
（2）求證：a+
1
a-1
≥3（a＞1）
（3）已知x＞0，y＞0，且x+2y=1，求
1
x
+
1
y
的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知關于x的不等式x2-ax+1＜0的解集為（
1
2
，2），則實數(shù)a=
 
．

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