Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx的導函數(shù)y=f′（x）的簡圖，它與x軸的交點是（0，0）和（1，0），又f′（

1

2

）=

3

2

．
（1）求f（x）的解析式及f（x）的極大值．
（2）若在區(qū)間[0，m]（m＞0）上恒有f（x）≤x成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由f′（x）=3ax²+2bx+c，且f′（0）=f′（1）=0，由此利用導當選性質(zhì)能求出f（x）的解析式及f（x）的極大值．
（2）令f（x）≤x，即-2x³+3x²-x≤0，由此能求出m的取值范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=3ax²+2bx+c，
由已知f′（0）=f′（1）=0，
∴

c=0 3a+2b+c=0

，解得c=0，b=-

3

2

a，
∴f′（x）=3ax²-3ax，
∴f′(

1

2

)=

3a

4

-

3a

2

=

3

2

，解得a=-2，∴b=3，
∴f（x）=-2x³+3x²．
由導函數(shù)y=f′（x）的簡圖知x=1時，f（x）取極大值f（1）=1．
（2）令f（x）≤x，即-2x³+3x²-x≤0，
∴x（2x-1）（x-1）≥0，0≤x≤

1

2

，或x≥1，
又f（x）≤x在區(qū)間[0，m]上恒成立，
∴0＜m≤

1

2

．

點評：本題主要考查函數(shù)、導數(shù)等基本知識．考查運算求解能力及化歸思想、函數(shù)方程思想、分類討論思想的合理運用，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．