Question

已知函數(shù) f（x）=e^x+ax²+bx．
（1）若a=0且f（x）在x=-1處取得極值，求實數(shù)b的值；
（2）設(shè)曲線y=f（x）在點P（m，f（m））（0＜m＜1）處的切線為l，直線l與y軸相交于點Q．若點Q的縱坐標恒小于l，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由f′（x）=e^x+2ax+b，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實數(shù)b．
（2）由f′（x）=e^x+2ax+b，利用分類討論思想、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，結(jié)合已知條件能求出實數(shù)a的取值范圍是．

解答： 解：（1）f′（x）=e^x+2ax+b，
a=0時，f′（x）=e^x+b，
依題意x=-1是f′（x）=0，即e^x+b=0的根，
∴b=-

1

e

．
（2）∵f′（x）=e^x+2ax+b，
∴點P（m，f（m））處的切線斜率f′（m）=e^m+2am+b，
令x=0，得y=-m（e^m+2am+b）+（e^m+am²+bm），
∴y=（1-m）e^m-am²，（0＜m＜1），
即y=（1-m）e^m-am²，0＜m＜1，
當(dāng)0＜m＜1時，要使得點Q的縱坐標小于1，只需（1-m）e^m-am²＜1，
∴（m-1）e^m+am²+1＞0，0＜m＜1，
g′（m）=m（e^m-2a），
∵0＜m＜1，∴1＜e^m＜e．
①若2a≥-1，即a≥-

1

2

時，e^m+2a＞0，
∴當(dāng)m∈（0，1）時，g′（x）＞0，即g（m）在（0，1）上單調(diào)遞增，
g（m）＞g（0）=0恒成立，∴a≥-

1

2

滿足題意．
②若-e＜2a＜-1，即-

e

2

＜a＜-

1

2

時，0＜ln（-2a）＜1，
列表如下：

m	（0，ln（-2a））	ln（-2n）	（ln（-2a），1）
g′（m）	-	0	+
g（m）	遞減	最小值	遞增

∴g（ln（-2a））＜g（0）=0，-

e

2

＜a＜-

1

2

，不滿足題意．
③若2a≤-e，即a≤-

e

2

時，-e^m+2a＜0，
∴當(dāng)m∈（0，1）時，g′（m）＜0，即g（m）在（0，1）上單調(diào)遞減，
g（m）＜g（0）=0，∴a≤-

e

2

不滿足題意，
綜上所述，當(dāng)a≥-

1

2

時，滿足題意，即實數(shù)a的取值范圍是[-

1

2

，+∞）．

點評：本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基本知識．考查運算求解能力及化歸思想、函數(shù)方程思想、分類討論思想的合理運用，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．