Question

11．在數(shù)列{a_n}中，S_n為它的前n項和，已知a₂=4，a₃=15，且數(shù)列{a_n+n}是等比數(shù)列，則S_n=3ⁿ-$\frac{{n}^{2}+n}{2}-1$．

Answer 1

分析 根據(jù){a_n+n}是等比數(shù)列，求出{a_n+n}的公比，然后求出數(shù)列{a_n}的通項公式，利用分組求和法進(jìn)行求解，即可得到結(jié)論．

解答 解：∵{a_n+n}是等比數(shù)列，
∴數(shù)列{a_n+n}的公比q=$\frac{{a}_{3}+3}{{a}_{2}+2}$=$\frac{15+3}{4+2}=\frac{18}{6}=3$，
則{a_n+n}的通項公式為a_n+n=（a₂+2）•3^n-2=6•3^n-2=2•3^n-1，
則a_n=2•3^n-1-n，
則S_n=$\frac{2（1-{3}^{n}）}{1-3}$-$\frac{n（1+n）}{2}$=3ⁿ-$\frac{{n}^{2}+n}{2}-1$，
故答案為：3ⁿ-$\frac{{n}^{2}+n}{2}-1$

點評 本題主要考查數(shù)列和的計算，根據(jù)等比數(shù)列的定義求出等比數(shù)列的通項公式，利用分組求和法是解決本題的關(guān)鍵．