Question

6．設(shè)x、y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}3x-y-6≤0\\ x-y+2≥0\\ x≥0，y≥0\end{array}\right.$，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為10，則$\frac{2}{a}+\frac{3}$的最小值為（　�。�

• A． $\frac{24}{5}$
• B． 5
• C． 25
• D． 24

Answer 1

分析 作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)先求出a，b的關(guān)系，然后利用基本不等式求$\frac{2}{a}+\frac{3}$的最小值．

解答 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-$\frac{a}$x+$\frac{z}$，
作出可行域如圖：
∵a＞0，b＞0，
∴直線y=-$\frac{a}$x+$\frac{z}$的斜率為負(fù)，且截距最大時(shí)，z也最大．
平移直線y=-$\frac{a}$x+$\frac{z}$，
，由圖象可知當(dāng)y=-$\frac{a}$x+$\frac{z}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，
直線的截距最大，此時(shí)z也最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6=0}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=6}\end{array}\right.$，即A（4，6）．
此時(shí)z=4a+6b=10，
即2a+3b-5=0，
即$\frac{2a}{5}+\frac{3b}{5}$=1，
則$\frac{2}{a}+\frac{3}$的最小值為（$\frac{2}{a}+\frac{3}$）（$\frac{2a}{5}+\frac{3b}{5}$）=$\frac{4}{5}+\frac{9}{5}+\frac{6a}{5b}+\frac{6b}{5a}$≥$\frac{13}{5}$+2×$\frac{6}{5}$=5，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{6a}{5b}=\frac{6b}{5a}$，即a=b=1時(shí)，取等號(hào)，
故$\frac{2}{a}+\frac{3}$的最小值為5；
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及基本不等式的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法；屬于中檔題．