Question

13．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為2，其兩個焦點與短軸的一個頂點是正三角形的三個頂點．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）動點P在橢圓C上，直線l：x=4與x軸交于點N，PM⊥l于點M（M，N不重合），試問在x軸上是否存在定點T，使得∠PTN的平分線過PM中點，如果存在，求定點T的坐標；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得c=1，再由正三角形的高與邊長的關系，可得b=$\sqrt{3}$，進而得到a，即可得到橢圓方程；
（Ⅱ）假設存在點T，使得∠PTN的平分線過PM中點．設P（x₀，y₀），T（t，0），PM中點為S．由角平分線的定義和平行線的性質(zhì)，再由兩點的距離公式和P滿足橢圓方程，化簡整理，即可得到定點T．

解答 解：（Ⅰ）由橢圓C的焦距2c=2，解得c=1，
因為兩個焦點與短軸的一個頂點構(gòu)成正三角形，
所以b=$\sqrt{3}$c=$\sqrt{3}$，a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=2，
所以橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；                        
（Ⅱ）假設存在點T，使得∠PTN的平分線過PM中點．
設P（x₀，y₀），T（t，0），PM中點為S．
因為PM⊥l于點M（M，N不重合），且∠PTN的平分線過S，
所以∠PTS=∠STN=∠PST．
又因為S為PM的中點，
所以|PT|=|PS|=$\frac{1}{2}$|PM|．
即$\sqrt{（{x}_{0}-t）^{2}+（{y}_{0}-0）^{2}}$=$\frac{1}{2}$|x₀-4|．
因為點P在橢圓C上，所以y₀²=3（1-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$），
代入上式可得 2x₀（1-t）+（t²-1）=0．
因為對于任意的動點P，∠PTN的平分線都過S，
所以此式對任意x₀∈（-2，2）都成立．
所以$\left\{\begin{array}{l}{1-t=0}\\{{t}^{2}-1=0}\end{array}\right.$，
解得t=1．
所以存在定點T，使得∠PTN的平分線過PM中點，
此時定點T的坐標為（1，0）．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的方程的運用，同時考查存在性問題的求法，角平分線的性質(zhì)和中點坐標公式，考查運算能力，屬于中檔題．